نظرية عدم اكتمال جودل: الرجل الذي دمر الرياضيات

كان كورت جودل، الرجل الذي دمر الرياضيات، أحد أهم المفكرين في القرن العشرين. لقد ولد عام 1906، وسط أكبر أزمة عرفتها الرياضيات على الإطلاق. وبعد بضعة عقود فقط، ساعد في حل هذا الاضطراب، ولكن بفعلته هذه حكم على علماء الرياضيات بعالم أصغر من العالم الذي جاء من قبل.

الرياضيات، كإطار فكري، قوية بشكل لا يصدق. بيت القصيد هو أخذ مجموعة من الأفكار المنطقية واستخدامها لبناء مجموعة أخرى، مما يجعل الرياضيات أقرب شيء لدينا إلى آلة معرفية ذات حركة أبدية ــ هناك دائما فكرة رياضية جديدة تكمن في الأفق، ونحن بحاجة فقط إلى تجميع الخطوات للوصول إلى هناك. أو هكذا قد يبدو. ولكن في الواقع، هناك حقيقة أساسية مظلمة في قلب الرياضيات تضع حدودًا على استكشافنا الفكري. وتسمى هذه النظرية بنظرية عدم الاكتمال لجودل.

تبدأ قصة هذه النظرية في أواخر القرن التاسع عشر، عندما بدأ علماء الرياضيات في كشف أسس موضوعهم وسرعان ما اكتشفوا أن الصرح الفكري الذي دام ثلاثة آلاف عام أو نحو ذلك قد بني على الرمال المتحركة. بدأت المفارقات الجامحة في الظهور، وغرق علماء الرياضيات في حالة من الذعر.

مع مرور القرن، قرر رجل واحد محاربة الفوضى. أثناء صعوده على المسرح في مؤتمر باريس عام 1900، قدم عالم الرياضيات ديفيد هيلبرت قائمة تضم 23 مسألة لم يتم حلها في الرياضيات، مما وضع الأساس لبرنامج بحثي من شأنه أن يشغل علماء الرياضيات في معظم القرن العشرين. وقال للحشد المجتمع: “طالما أن فرعًا من فروع العلم يقدم وفرة من المشاكل، فما دام على قيد الحياة”.

كانت المهمة التي حلت بجودل فيما بعد هي المشكلة الثانية التي واجهها هيلبرت. يتعلق الأمر ببديهيات ساحة رياضية معينة، وهي في الأساس الافتراضات التي تعمل بمثابة قواعد اللعبة وتسمح لك بعمل اشتقاقات منطقية منها. كان تحدي هيلبرت لزملائه علماء الرياضيات هو إثبات أن البديهيات الحسابية، على وجه التحديد، “ليست متناقضة، أي أن عددًا محدودًا من الخطوات المنطقية المبنية عليها لا يمكن أبدًا أن تؤدي إلى نتائج متناقضة”.

وهذا أمر مرغوب فيه للغاية لإثباته. تخيل أنك تلعب لعبة لوحية حيث يكسبك تفسير واحد للقواعد نقاطًا، في حين أن تفسيرًا آخر صالحًا بنفس القدر لنفس القواعد يمكن أن يفقدك نقاطًا. مثل هذه اللعبة سوف تصبح، حسنا، لا معنى لها.

على مدى العقود القليلة التالية، حاول هيلبرت وزملاؤه المقربون التخلص من مشكلته الثانية، وتطوير ما كان يعرف باسم بيويستيوريأو “نظرية الإثبات”، وهي طريقة لتحويل البراهين إلى أشياء رياضية. في حين أن البرهان عادة ما يكون عبارة عن مجموعة من كلمات اللغة الطبيعية والرموز الرياضية، فإن هذا التحول إلى مفاهيم رياضية أكثر تجريدًا سمح لهيلبرت وزملائه بدراسة البراهين بأنفسهم باستخدام أدوات الرياضيات – يشبه إلى حد ما كتاب الوصفات الذي يحتوي على وصفة لصنع الوصفات. وفي عام 1928 ألقى محاضرة بعنوان يموت Grundlagen دير الرياضيات (“أسس الرياضيات”)، موضحًا أن هذه الطريقة الجديدة ستسمح له “بحل الأسئلة الأساسية في الرياضيات بشكل نهائي عن طريق تحويل كل بيان رياضي إلى صيغة يمكن إثباتها بشكل ملموس وقابلة للاشتقاق بدقة”، على الرغم من اعترافه بأن “قدرًا كبيرًا من العمل سيظل ضروريًا”.

بحلول هذه المرحلة، كان جودل يبلغ من العمر 22 عامًا طالب دكتوراه في جامعة فيينا بالنمسا. وكان يعمل تحت إشراف علماء الرياضيات الذين اتبعوا برنامج هيلبرت، على الرغم من أنه ليس لدينا أي دليل تاريخي يوضح أن الرجلين التقيا أو تراسلا بشكل مباشر. وبعد عام، وكجزء من أطروحته للدكتوراه، نشر جودل نظرية الاكتمال، وهي خطوة جيدة نحو أهداف هيلبرت.

تتعلق نظرية الاكتمال بنماذج مجموعات من البديهيات، حيث تمثل هذه النماذج الفهم الرياضي الذي يربط مجموعة من الرموز مثل “2” أو “+” أو “=” بالأشياء الرياضية الفعلية التي تصفها. هذا أمر مجرد تمامًا، لذا فهو يستحق الاطلاع على مثال صغير. تخيل أن بديهياتنا هي “هناك شيئان” و”الأشياء مختلفة”. هذه ليست بديهيات قوية جدًا – لا يمكنك إثبات الكثير باستخدام هاتين الاثنتين فقط – ولكنها صالحة تمامًا. يمكننا تطبيق العديد من النماذج المختلفة على هذه البديهيات، مثل وجوه العملة المعدنية (الصورة أو الكتابة)، أو يديك (اليسار أو اليمين) أو حتى الأرقام فقط (0 و 1). على الرغم من أن هذه النماذج تبدو مختلفة، إلا أنها تصف نفس الكائن الرياضي – مجموعة من شيئين مختلفين.

المهم هو أنه يمكنك تطبيق العديد من النماذج المختلفة على نفس مجموعة البديهيات، وما أثبته جودل هو أن أي عبارة صحيحة في جميع النماذج الممكنة لمجموعة من البديهيات يجب بالتالي إثباتها من تلك البديهيات. قد يبدو هذا دائريًا بعض الشيء، كما هو الحال غالبًا عندما نتعمق في أعماق التعريفات الرياضية، لكنه كان واعدًا لجهود هيلبرت في ترسيخ أسس الرياضيات.

لا يبدو أن هيلبرت لاحظ ذلك، انتبه. قدم جودل نظرية الاكتمال في 6 سبتمبر 1930 في مؤتمر عقد في كونيجسبيرج (المعروف اليوم باسم كالينينجراد في روسيا). كان هيلبرت حاضرًا في مؤتمر آخر في كونيجسبيرج، وألقى خطابًا كبيرًا في الثامن من سبتمبر، والذي رفض فيه فكرة وجود حدود للمعرفة الإنسانية. وقال: “يجب أن نعرف. وسوف نعرف”، وهي الكلمات التي نقشت في نهاية المطاف على شاهد قبره.

هناك مشكلة واحدة فقط في صرخة هيلبرت الحاشدة لعلماء الرياضيات – لقد دمر جودل بالفعل كل الأمل في ذلك في اليوم السابق. ليس في 6 سبتمبر، عندما قدم نظرية الاكتمال، ولكن في 7 سبتمبر. خلال مناقشة مع زملائه المنطقيين في ذلك اليوم، أفلت جودل من أنه حدد إمكانية وجود عبارات “غير قابلة للتقرير” ــ تلك التي لا يمكن إثبات صحتها في ضوء مجموعة معينة من البديهيات، ولكن بشكل حاسم لا يمكن إثبات خطأها أيضًا. كان هذا هو نشأة فكرة من شأنها أن تحد من آفاق الرياضيات إلى الأبد.

من المغري أن نتخيل جودل وسط جمهور حديث هيلبرت، وهو يضحك بصمت على نفسه، على الرغم من أننا لا نملك أي دليل على أن هذا قد حدث على الإطلاق – فقد كان المؤتمران في أجزاء مختلفة من المدينة. ما نعرفه هو أن جودل نشر نظرية عدم الاكتمال – وهي مرآة مظلمة لأطروحته للدكتوراه – بعد بضعة أشهر في يناير 1931.

تقدم هذه النظرية ادعاءين مهمين، يستحقان الدراسة بشكل منفصل. الأول هو بالضبط ما خرج به جودل في مناقشة 7 سبتمبر – وهو أنه مهما كانت البديهيات الخاصة بك، ستكون هناك دائمًا مشاكل غير قابلة للحسم ضمن تلك البديهيات. إنها تشبه إلى حد ما نسخة رياضية من العبارة المتناقضة “هذه الجملة خاطئة”، وهي عبارة لا تجعل نفسها صحيحة أو خاطئة. يسمي علماء الرياضيات الآن هذه النتيجة المتعلقة بالمسائل غير القابلة للحسم بنظرية عدم الاكتمال الأولى لجودل، ولا تزال ذات صلة بعد مرور قرن تقريبًا – إليكم قصة ممتعة كتبتها عن برامج الكمبيوتر ذات الإمكانية النظرية لكسر الرياضيات، كل ذلك بسبب مسائل غير قابلة للحسم.

تُعد نظرية عدم الاكتمال الأولى بمثابة إعادة كتابة كبيرة لفهمنا لما يمكن أن تفعله الرياضيات، ولكن ما نسميه الآن نظرية عدم الاكتمال الثانية لجودل هو الذي أسقط هيلبرت حقًا. وذلك لأن جودل أظهر أن أي مجموعة قوية بما فيه الكفاية من البديهيات (في الأساس، تلك التي يهتم بها علماء الرياضيات) لا يمكن استخدامها أبدًا لإثبات أن تلك البديهيات نفسها لن تنتج تناقضات.

وبالعودة إلى تشبيه لعبة اللوحة، يمكنك قراءة القواعد كما تريد، ولكن لا يمكنك أبدًا التأكد من أنها لن تؤدي إلى نتائج متناقضة. إن التأكيد ضد التناقض هو بالضبط ما كان هيلبرت يبحث عنه في البديهيات الحسابية – وقد أظهر جودل أن هذه المشكلة بالضبط غير قابلة للحسم. هناك شرط الخروج: إذا قمت بالانتقال إلى مجموعة أخرى من البديهيات، فمن المحتمل أن تثبت اتساق البديهيات السابقة الخاصة بك. لكن هذا لا يحل المشكلة، لأنه سيكون هناك الآن تناقضات أخرى في البديهيات الجديدة. فبدلاً من مطاردة آفاق رياضية لا حصر لها، يجب على علماء الرياضيات أن يكونوا راضين بما لا يمكن معرفته.

فكيف كان رد فعل هيلبرت على هذه الأخبار المزلزلة؟ ومن المثير للدهشة أنه لم يفعل ذلك، على الأقل ليس علنًا. وفقًا لكاتب سيرة جودل، جون داوسون، نعلم أن جودل أرسل مسودة بحثه إلى مساعد هيلبرت ومعاونه الوثيق بول بيرنيز، الذي أقر باستلامه، وأرسل لاحقًا نسخًا من الورقة النهائية المنشورة.

يقول داوسون إن نتائج جودل “أثارت غضب هيلبرت”، ولكن المرة الوحيدة التي وضع فيها هيلبرت قلمه على الورق ردًا على جودل لم تأتي إلا في عام 1934. وكتب هيلبرت في كتاب شارك في تأليفه مع بيرنيز: “إن الرأي الذي ظهر مؤقتًا والذي أكد على أن بعض النتائج الحديثة لجودل تظهر أنه لا يمكن تنفيذ نظرية الإثبات الخاصة بي، قد ثبت أنه خاطئ”.

وبعبارة أخرى، لم يتلق جودل المسكين أي استجابة مناسبة من هيلبرت بعد أن دمر بشكل أساسي رؤية الأخير للرياضيات كمحرك لا نهائي للمعرفة. ربما لم يتمكن هيلبرت ببساطة من قبول ذلك. فاز جودل في النهاية، فقد أصبح عدم الاكتمال مقبولاً كجزء من الشريعة الرياضية، مع ما يترتب على ذلك من حدود للرياضيات تجعلنا أكثر ثراء وفقرا في آن واحد. وعلى الرغم من ذلك، لا يسعني إلا أن أتساءل عما إذا كان رفض هيلبرت قد جعل جودل نفسه يشعر بالنقص.