عالم الرياضيات الذي لا وجود له

يعمل أحد أهم علماء الرياضيات في العالم منذ ما يقرب من قرن من الزمان، حيث أنتج عشرات الكتب التي يبلغ مجموعها آلاف الصفحات والتي كانت بمثابة ضوء إرشادي للمجال بأكمله. اسمه نيكولا بورباكي، وهو غير موجود.

بوربكي هو اسم مستعار لجمعية سرية لعلماء الرياضيات. تأسست المجموعة لأول مرة في فرنسا عام 1934، وبدأت بهدف بسيط: تحديث الكتب المدرسية الرياضية وجعلها أكثر ملاءمة للجمهور المعاصر. وبدلا من ذلك، خلقت طريقة جديدة تماما لكتابة الرياضيات من شأنها أن تحدث ضجة لعقود من الزمن.

في البداية، اعتقدت المجموعة أن العمل سيكون في حدود ألف صفحة ويستغرق ستة أشهر. بحلول عام 1935، قرر بورباكي كتابة سلسلة من ستة كتب، يعتمد كل منها على الكتاب السابق “لتوفير أساس متين لجسم الرياضيات الحديثة بأكمله”، كما جاء لاحقًا في مقدمة توضيحية. اعتقدت المجموعة أنها ستصل إلى أكثر من 3000 صفحة وستكتمل في غضون عام. لقد فهموا الجزء الأول بشكل صحيح على نطاق واسع، والثاني خطأ للغاية.

على الرغم من نية قراءة الكتب (التي تتكون في النهاية من مجلدات مادية متعددة) بالترتيب، إلا أن النص الأول الذي نشره بورباكي، في عام 1939، كان الفصل الأخير مما أصبح الكتاب الأول، نظرية المجموعات. ومن هناك، قفزت المجموعة ونشرت فصولًا مختلفة من كتب أخرى على مر السنين ولم تعود إلا مرة أخرى نظرية المجموعات في عام 1954، وأكمله في النهاية في عام 1970. وتم تصنيف العمل بأكمله في النهاية عناصر الرياضيات، مع المفرد غير العادي الذي يهدف إلى التأكيد على عمل علماء الرياضيات ككل متماسك. لم يتم الانتهاء من الكتب الستة حتى الثمانينيات، حيث بلغ العدد النهائي حوالي 4000 صفحة – على الرغم من أنه في تلك المرحلة استمر بورباكي في نشر كتب جديدة مع توسع نطاق المشروع الأصلي بشكل أكبر.

يرجع جدول النشر الفوضوي هذا إلى طريقة بورباكي الفريدة في العمل. تألفت المجموعة الأصلية من ستة من أساتذة الرياضيات الشباب، بما في ذلك أندريه ويل، الذي أصبح له تأثير لا يصدق في نظرية الأعداد والهندسة الجبرية. كان معظمهم من الطلاب السابقين في مدرسة الأساتذة العليا في باريس، فرنسا، وكانت مزحة من أيام جامعتهم تتضمن “نظرية بورباكي” غير المفهومة التي ألهمت اسم المجموعة.

كان هذا الموقف المخادع هو المفتاح لتماسك المجموعة. كانت الاجتماعات فوضوية ومليئة بالكحول، وغالبًا ما تحولت إلى مباريات صراخ ونكات بذيئة. يقوم أحد الأعضاء بإعداد نص مقترح وقراءته سطرًا تلو الآخر، حتى يتمكن بقية المجموعة من انتقاده والاعتراض عليه. وبعد ذلك يقوم عضو آخر بإعداد نص منقح، وتستمر العملية حتى يتم التوصل إلى اتفاق بالإجماع. فلا عجب أن الأمر استغرق وقتًا طويلاً، حيث يستغرق إنتاج الفصل في المتوسط ​​10 سنوات. طُلب من أعضاء بورباكي التقاعد عندما يبلغون سن الخمسين، وتم تعيين آخرين ليحلوا محلهم، لذلك كان هذا جهدًا رياضيًا متعدد الأجيال.

مشكلة أبدية

لكن ماذا كان بورباكي يفعل فعلاً؟ وعلى النقيض من الطريقة التي تم بها إنتاجه، كان عمل بورباكي رصينًا وصارمًا إلى حد الخطأ. نظرية المجموعات تهدف إلى بناء أساس يمكنه معالجة مشكلة أبدية في قلب الرياضيات، وهي أن الأشياء والأفكار الرياضية التي يهتم بها علماء الرياضيات مستقلة عن اللغة أو الرموز البشرية.

لفهم السبب، فكر في كلمة “إضافة” أو الرمز “+”. هذه لها علاقة اعتباطية تمامًا مع المفهوم الرياضي الأساسي الفعلي – يمكننا استخدام أي سلسلة من الرموز للدلالة على عملية الجمع، طالما أننا نتفق على ما تعنيه. على النقيض من ذلك، الجمع له علاقة جوهرية صارمة مع الطرح، لأن أحدهما يعكس الآخر وهذا صحيح بغض النظر عما نسميه.

من الناحية العملية، لا يمثل تصنيف المفاهيم الرياضية مشكلة لأن علماء الرياضيات لديهم اتفاقيات لرسم خرائط قياسية بين المفاهيم والكلمات أو الرموز، ولكن من حيث المبدأ، هناك احتمال للتناقض أو الخلاف.

لم يكن بورباكي أول من حاول هذا النوع من إضفاء الطابع الرسمي (كتبت مؤخرًا عن بعض الجهود المبكرة هنا) لكنه ربما كان الأكثر تحذلقًا. على سبيل المثال، تم تعريف الرقم 1 بعناية في حاشية الصفحة 158 من نظرية المجموعات. كتب بورباكي أن “الرمز “1” لا ينبغي بالطبع الخلط بينه وبين كلمة “واحد” في اللغة العادية” ولكن بدلاً من ذلك، يجب اعتباره مساوياً للتعريف التالي:

τZ ((∃u)(∃U)(u = (U, {∅}, Z) و U ⊂ {∅} × Z و (∀x)((x ∈ {∅}) ⇒ (∃y)((x, y) ∈ U)) و (∀x)(∀y)(∀y’)(((x, y) ∈ U و (x, y’) ∈ U) ⇒ (y = y’)) و (∀y)((y ∈ Z) ⇒ (∃x)((x, y) ∈ U))))

لا تُصب بالذعر. لا أستطيع محاولة التحليل الكامل لهذا هنا، على الرغم من أن التفسير العالي المستوى هو أن ∅ هي مجموعة (مصطلح رياضي لمجموعة من الكائنات) وأن هذه المجموعة تحتوي على صفر كائنات، مما يجعلها “المجموعة الفارغة”. من هنا، يتم تعريف 1 على أنه {∅}، المجموعة التي تحتوي على كائن واحد، ويكون هذا الكائن هو المجموعة الفارغة. يمكنك قراءة المزيد عن ذلك في العمود السابق.

لكن ما لا يصدق هو أن هذه الفوضى من الرموز تخفي في الواقع تعريفًا رسميًا أكبر بكثير، حيث يتم تعريف كل تمايل بعناية وبشكل مؤلم استنادًا إلى النص السابق للكتاب، باستخدام الرموز τ و ∨ و ¬ و ☐ و = و ⊂ و ∈ فقط. ومن الجدير بالذكر أن بورباكي لم يكتب هذه العناصر بالكامل مطلقًا – حيث تقدر الحاشية السفلية أن القيام بذلك بالنسبة لهذا التعريف سيتطلب عشرات الآلاف من الرموز. وتبين أن هذا أقل من الواقع، حيث توصل علماء الرياضيات اللاحقون إلى أن كتابة التعبير الكامل للرقم 1 سيتطلب أكثر من 4.5 مليار رمز، أو ربما 2,409,875,496,393,137,472,149,767,527,877,436,912,979,508,338,752,092,897 رمزًا، اعتمادًا على مدى الصرامة التي تريدها.

من الواضح أن الانحراف عن مثل هذه الصياغة المكثفة أمر ضروري إذا كان علماء الرياضيات يريدون إنجاز أي عمل فعليا، ويعترف بوربكي بذلك ــ في حين يصر دائما على أن استخدام الاختصارات مثل “1” أو “واحد” يعد بمثابة “إساءة استخدام للغة”. ومن خلال وضع القواعد، منح بورباكي علماء الرياضيات الإذن بخرقها.

المشكلة مع الرياضيات الجديدة

إذن ما الذي حققه كل هذا في الواقع؟ فمن ناحية، مكن هذا من تحقيق هدف بورباكي المتمثل في توحيد الرياضيات ككيان واحد. إذا كان من الممكن، من الناحية النظرية، وصف مصطلحات ومفاهيم من فرعين مختلفين من فروع الرياضيات باستخدام نفس الرموز الأساسية، فإن هذا يوفر أساسًا صارمًا للانتقال من فرع إلى آخر. من الناحية العملية، لا أحد يفعل ذلك فعليًا، لكن هذا يضع الرياضيات على أرضية فلسفية أكثر ثباتًا. وبعد عقود من الزمن، أثبت نهج بورباكي تأثيره بشكل مدهش، حيث يستكشف علماء الرياضيات استخدام إضفاء الطابع الرسمي بمساعدة الكمبيوتر للتحقق من الأدلة التي ينتجها الذكاء الاصطناعي. كما قدم بورباكي العديد من المفاهيم والرموز (∅ للمجموعة الفارغة، على سبيل المثال) التي لا تزال قيد الاستخدام من قبل علماء الرياضيات اليوم. وعلى نطاق أوسع، يستمر أسلوب الكتابة البورباكية في التأثير على كتب الرياضيات المدرسية الحديثة.

لكن بورباكي لم يخلو من المنتقدين. كما نشر عناصر الرياضيات ومع ذلك، تمرد بعض علماء الرياضيات ضد إصرار المجموعة على الدقة المتحذقة. والأمر الأكثر غرابة هو أن بورباكي ألهم محاولة كارثية لإعادة تشكيل الطريقة التي يتم بها تدريس الرياضيات في المدارس. ظهرت “الرياضيات الجديدة” لأول مرة في أواخر الخمسينيات من القرن الماضي في فرنسا، ثم انتشرت لاحقًا إلى الولايات المتحدة وبلدان أخرى، وسعت إلى التخلي عن الأدوات التربوية التقليدية مثل جداول الضرب، وبدلاً من ذلك اتبعت نهجًا صارمًا قائمًا على نظرية المجموعات في الرياضيات بناءً على تعاليم بورباكي. كان الهدف هو فهم الفكرة العامة للضرب، على سبيل المثال، بدلاً من حفظ حقائق محددة مثل 3 × 4 = 12.

كان يُنظر إلى الرياضيات الجديدة على نطاق واسع على أنها كارثة. لم يفهم الآباء ما كان يتم تدريسه لأطفالهم، وكذلك المعلمون في كثير من الحالات. الكتاب الأكثر مبيعاً، لماذا لا يستطيع جوني الإضافة، كان بمثابة توبيخ لاذع، وبحلول أواخر السبعينيات تم التخلي عن الرياضيات الجديدة في الغالب. كانت السبعينيات أيضًا سيئة بالنسبة لبورباكي على جبهة أخرى، حيث اضطرت المجموعة إلى خوض معركة قانونية حول حقوق الطبع والنشر والإتاوات مع ناشرها.

ومع ذلك، لا يزال بورباكي يعمل حتى اليوم، وينشر فصلين جديدين من كتابه هذا العام فقط، على الرغم من أن المؤلفين الذين يقفون وراءهما يظلون سرًا، كما جرت العادة. بطريقة ما، تسمح السرية لعلماء الرياضيات بمعاملة بورباكي باعتباره عمًا محرجًا بعض الشيء – الجميع سعداء بوجوده هناك، ويقوم بعمل لا يريد أي شخص آخر القيام به، ولكن في الوقت نفسه يشعر علماء الرياضيات بالارتياح لأنهم لا يضطرون فعليًا إلى دعوته لتناول العشاء.